Astronomía

Demostración para obtener Matter Power Spectrum en cosmología

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Me gustaría demostrar la expresión del espectro de potencia en cosmología:

Primero, tengo el contraste relativo:

$$ delta_ {i} ( vec {x}, z) equiv rho_ {i} ( vec {x}, z) / bar { rho} _ {i} (z) -1 quad (1) $$

Después, descomponemos este contraste relativo sobre la base de Fourrier:

$$ delta_ {i} ( vec {x}, z) = int frac { mathrm {d} ^ {3} k} {(2 pi) ^ {3}} tilde { delta} _ {i} ( vec {k}, z) exp ( mathrm {i} vec {k} cdot vec {x}) quad (2) $$

y finalmente, cómo encontrar la siguiente expresión (3) a partir de (1) y (2):

$$ left langle tilde { delta} _ {i} ( vec {k}, z) tilde { delta} _ {i} left ( vec {k} ^ { prime}, z right) right rangle = (2 pi) ^ {3} delta _ { mathrm {D}} left ( vec {k} + vec {k} ^ { prime} right) P_ { i} ( vec {k}, z) quad (3) $$

?

Cualquier ayuda es bienvenida.


Esto es solo una transformada de Fourier: (deje $ boldsymbol {x} = boldsymbol {r} _2- boldsymbol {r} _1 $)

$$ begin {alineado} langle delta ( boldsymbol {k} _1) delta ( boldsymbol {k} _2) rangle & = int int d ^ 3r_1d ^ 3r_2 langle delta ( boldsymbol {r } _1) delta ( boldsymbol {r} _2) rangle e ^ {- i boldsymbol {k} _1 cdot boldsymbol {r} _1} e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot boldsymbol {r} _2} & = int d ^ 3r_1 e ^ {- i boldsymbol {k} _1 cdot boldsymbol {r} _1} int d ^ 3r_2 langle delta ( boldsymbol {r} _1 ) delta ( boldsymbol {r} _2) rangle e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot boldsymbol {r} _2} & = int d ^ 3r_1 e ^ {- i boldsymbol { k} _1 cdot boldsymbol {r} _1} int d ^ 3x langle delta ( boldsymbol {r} _1) delta ( boldsymbol {r} _1 + boldsymbol {x}) rangle e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot ( boldsymbol {r} _1 + boldsymbol {x})} & = int e ^ {- i ( boldsymbol {k} _1 + boldsymbol {k} _2) cdot boldsymbol {r} _1} d ^ 3r_1 int xi ( boldsymbol {x}) e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot boldsymbol {x}} d ^ 3x & = (2 pi) ^ 3 delta_D ( boldsymbol {k} _1 + boldsymbol {k} _2) P ( boldsymbol {k} _2) end {alineado} $$

Aquí, $ langle delta ( boldsymbol {r} _1) delta ( boldsymbol {r} _2 rangle) $ es la función de correlación de dos puntos (2pcf) en el espacio real. Si asumimos que nuestro universo es estadísticamente homogéneo, $ langle delta ( boldsymbol {r} _1) delta ( boldsymbol {r} _2 rangle) $ debería tener la forma $ xi ( boldsymbol {r} _1- boldsymbol {r} _2) $. Entonces, el espectro de potencia es la transformada de Fourier de 2pcf.

Además, si asumimos que nuestro universo es estadísticamente isotrópico (no es cierto en el espacio de corrimiento al rojo), 2pcf puede ser $ xi (| boldsymbol {r} _1- boldsymbol {r} _2 |) $ y el espectro de potencia puede ser $ P (k) $.


2.4: Lo que un espectro de luz puede decirnos sobre la materia

  • Contribución de Kim Coble, Kevin McLin, Thomas Targett y Lynn Cominsky
  • Universidad Estatal de Sonoma

Ejercicio ( PageIndex <1> ): Rainbowx

Algunos estudiantes están discutiendo una demostración que vieron recientemente en su clase.

  • Demaryius: & quot; ¡Me encantó ver los arcoíris en clase hoy & mdash, fue genial! & quot;
  • Eugenia: & ldquoBueno, no eran realmente arcoíris & mdash, eran espectros. Pero estoy de acuerdo en que son geniales. & Rdquo
  • Franco: & ldquo¿Cuál es la diferencia? & rdquo
  • Eugenia: & ldquoSpectra es cuando la luz se extiende sobre todas sus diferentes energías cuando pasa a través de algún tipo de instrumento científico. Así que creo que espectros es el término técnico para arcoiris. & Rdquo

¿Alguna vez ha mirado a través de un prisma en un día soleado? ¿Has visto un arco iris reflejado en una joya o un cristal? ¿Sabías que el hermoso arco iris de colores ya estaba presente a la luz del sol antes de que sostuvieras tu prisma? Todo lo que hizo el prisma fue extender la luz en un espectro de diferentes longitudes de onda, como se muestra en la Figura ( PageIndex <1a> ).

Al observar el espectro de luz de un objeto, podemos aprender una gran cantidad de información sobre las condiciones del objeto que produjo la luz, por ejemplo, su temperatura, densidad y composición. Por esta razón, la espectroscopia, el estudio de los espectros, se utiliza en muchas ciencias, incluidas la biología, la geología, la química y la ciencia forense, no solo la astronomía y la física. El término & ldquospectrum & rdquo se refiere a cuántos fotones se emiten en cada frecuencia (o longitud de onda o energía); es solo un término elegante para describir la distribución de energía. Un ejemplo familiar de distribución podría ser el de las calificaciones en una clase. La distribución de calificaciones describe la frecuencia con la que se produjo cada puntaje (es decir, cuántos estudiantes de la clase recibieron cada puntaje). De manera similar, el espectro de una fuente de luz describe cuántos fotones de una determinada frecuencia (o longitud de onda o energía) emite la fuente. Un espectrógrafo es el instrumento científico que se utiliza para obtener un espectro, un esquema de uno se muestra en la Figura ( PageIndex <1b> ).

Figura 2.3 Prisma y espectrógrafo simple (espectroscopio). (a) Un prisma hace que la luz blanca se difunda en sus diversos colores porque las diferentes longitudes de onda de la luz tienen diferentes velocidades mientras viajan a través del prisma (diferentes longitudes de onda viajan a la misma velocidad en el vacío, pero no de otra manera). (b) La luz entra en un espectroscopio a través de una pequeña abertura, como una rendija, y luego se divide en las longitudes de onda que la constituyen mediante un dispositivo con forma de prisma (que suele ser una rejilla) de modo que cada longitud de onda se pueda estudiar de forma independiente. El estudio de los espectros ha permitido a los astrónomos aprender muchísimo sobre el Universo. Crédito: NASA / SSU / Aurore Simonnet.

Algunas de las diferentes distribuciones que puede ver incluyen espectros continuos, espectros de líneas de emisión y espectros de líneas de absorción. Los espectros continuos (o continuos) muestran una emisión continua (sin espacios) en todas las frecuencias, o al menos en una amplia gama de frecuencias. Los espectros de líneas de absorción presentan un continuo brillante más líneas oscuras, algo ha absorbido luz en frecuencias muy específicas, sacándolas de la mezcla. Los espectros de líneas de emisión consisten en líneas brillantes sobre un fondo oscuro, la fuente emite luz a frecuencias muy específicas. Consulte la Figura ( PageIndex <2> ) para ver ilustraciones de espectros continuos, de absorción y de emisión.

Figura ( PageIndex <2> ): Un espectro continuo (o continuo) tiene luz en todas las frecuencias. Un espectro de absorción tiene espacios oscuros en longitudes de onda donde los átomos han absorbido parte de la luz. Un espectro de emisión tiene líneas brillantes en longitudes de onda donde los átomos emiten luz. Crédito: NASA / SSU / Aurore Simonnet.


Cosmologías estándar¶

Los siguientes conjuntos de parámetros cosmológicos se pueden elegir utilizando la función setCosmology ():

Mejor ajuste, solo Planck (columna 5)

Mejor ajuste con BAO (columna 6)

Mejor ajuste, solo Planck (columna 2)

Mejor ajuste con ext (columna 6)

Max. probabilidad, con eCMB, BAO y H0

Mejor ajuste, con eCMB, BAO y H0

Max. probabilidad, con BAO y H0

Max. probabilidad, con BAO y SN

Cosmología de la simulación Illustris

Cosmología de la simulación Bolshoi

Cosmología de las simulaciones Multidark-Planck

Cosmología de la simulación del Milenio

Cosmología de Einstein-de Sitter

Ajustes predeterminados para cosmos de ley de potencia.

Aquellas cosmologías que se refieren a simulaciones particulares (como bolshoi y millennium) generalmente se establecen para ignorar especies relativistas, es decir, fotones y neutrinos, porque no se modelan en las simulaciones. La cosmología EdS se refiere a un modelo de Einstein-de Sitter, es decir, una cosmología plana con solo materia oscura y ( Omega_ < rm m> = 1 ).


Nota: Gah, renuncio al látex. Mi código de Latex es correcto, pero sigue apareciendo como un error en mi máquina. Si no lo ve, lo siento, pero puede consultar el enlace en la parte inferior para obtener más detalles.

Bien, entonces lo que se hace es tomar el mapa del cielo CMB y realizar una transformación armónica esférica en él. Una transformada armónica esférica es básicamente el mismo concepto general que una transformada de Fourier, pero los armónicos esféricos son mutuamente ortogonales en la superficie de una esfera, así:

[tex] f ( theta, phi) = sum_a_Y ( theta, phi) _^[/Texas]

Aquí, el índice "l" indica el número de oscilaciones, y el índice "m" es una forma de codificar la dirección de oscilación en la esfera, y varía de "l" a "l". Por ejemplo, l = 0 es oscilación cero: este es el monopolo que establece la escala general. l = 1 es un dipolo: una oscilación completa sobre la esfera y hay tres direcciones posibles (x, y y z). Vaya a valores de l cada vez más altos y obtendrá más oscilaciones (y por lo tanto más pequeñas) y más direcciones posibles para esas oscilaciones. De la forma en que se escriben normalmente, las funciones armónicas esféricas [tex] Y ( theta, phi) _^[/ tex] son ​​funciones complejas y, por tanto, los coeficientes son complejos. Sin embargo, este es un problema menor. Para construir el espectro de potencia, promediamos las direcciones. Esto se hace de la siguiente manera:

Finalmente, al construir ese gráfico, puede notar que el eje vertical no es [tex] C_l [/ tex], sino que es [tex] C_l l (l + 1) / 2 pi [/ tex]. Resulta que si tuviéramos un espectro de potencia uniforme en un intervalo logarítmico en l, entonces multiplicar dicha función por [tex] l (l + 1) / 2 pi [/ tex] nos daría una constante. Así, esta multiplicación nos permite interpretar la función con mayor facilidad, porque la inflación predice que el espectro de potencia primordial, el generado inicialmente por la inflación, sería casi una constante en este espacio.

Si la inflación es cierta, entonces, todas las características que ves en un espectro de poder escrito como arriba que se desvían de una constante provienen de la dinámica del universo entre la inflación y la emisión del Big Bang (más alguna modificación muy leve entre nosotros y el CMB). Por ejemplo, la larga cola de amortiguación en l alto se debe al hecho de que la superficie de emisión del CMB no es instantánea: la transición de fase de un plasma a un gas se produjo con el tiempo, y la borrosidad resultante de la señal amortigua la pequeña- fluctuaciones de escala. También está la relación entre los picos pares e impares del espectro de potencia. Esto se debe a las diferencias físicas entre la materia normal y la materia oscura: la materia oscura simplemente cae en pozos potenciales, mientras que la materia normal rebota. El hecho de que la materia oscura no rebote provoca una reducción de los picos pares en relación con la materia normal.


Título: REJUVENECER EL ESPECTRO DE PODER DE LA MATERIA. III. LA SENSIBILIDAD DE LA COSMOLOGÍA DEL ESPECTRO DE PODER GAUSSIANIZADO

Recientemente se demostró que la aplicación de una transformada gaussianizante, como un logaritmo, al campo de densidad de materia no lineal amplía el rango de aplicabilidad útil del espectro de potencia en un factor de unos pocos más pequeños. Tal transformación reduce drásticamente las no linealidades tanto en la covarianza como en la forma del espectro de potencia. Aquí, analizando los campos de densidad de materia oscura en el espacio real de Coyote Universe, investigamos las consecuencias de estas transformaciones para la estimación de parámetros cosmológicos. El espectro de potencia de la densidad logarítmica proporciona las barras de error de parámetro cosmológico más ajustadas (marginadas o no), lo que da un factor de mejora de 2-3 sobre el espectro de potencia convencional en los cinco parámetros probados. Para la inclinación, n , la mejora alcanza un factor de cinco. Se logran restricciones similares si el espectro de potencia de densidad logarítmica y el espectro de potencia convencional se analizan juntos. La gaussianización de orden de rango parece tan útil como una transformación logarítmica para restringir n , pero no otros parámetros. Dividir la sobredensidad por su dispersión en celdas de pocos Mpc, mientras diagonaliza la matriz de covarianza, no parece ayudar con las restricciones de los parámetros. También proporcionamos un código que emula estos espectros de potencia en una variedad de modelos cosmológicos de concordancia.


Demostración para obtener Matter Power Spectrum en cosmología - Astronomía

    Aquí está la "Introducción" (consulte la Tabla 00 para obtener una explicación muy breve, haga clic en el tema subrayado para obtener más detalles):


  1. CMB: mide la variación de temperatura muy pequeña sobre el primer plano de la radiación de cuerpo negro de 2.726 o K en unidades de K. Está trazado en coordenadas galácticas que presenta una vista bidimensional de todo el cielo.
  2. CDF: este es un segmento de un mapa de densidad de "estudios del cielo" con un rango de distancia (profundidad) de 100 a 1000 Mpc desde la Tierra.

Figura 00a Correlación de Pearson [ver imagen grande]

Figura 00b Transformada de Fourier [ver imagen grande]


  1. CMB: la reducción de datos comienza con la recopilación de señales de microondas, que luego se traducen en una pequeña desviación de temperatura (al cuadrado) del promedio. Este proceso produce la variación de temperatura para todos los puntos espaciales del cielo (Figura 00c, b). La producción de espectro de potencia de CMB tiene que pasar por otra ronda de proceso elaborado llamado "Estimación de probabilidad" para obtener un valor más probable. valor para un momento multipolo dado del enorme volumen de datos.
  2. CDF: el espectro de potencia para este caso es una fórmula ad hoc derivada de la comparación de los datos de observación.
  • (a) Esta es la radiación cósmica de primer plano (cuerpo negro) en coordenadas galácticas. Se emitió unos 380.000 años después del Big Bang. La temperatura original es de unos 4000 o K, se ha reducido a los actuales 2,726 o K por la expansión cósmica.
  • (b) Es la variación de temperatura muy pequeña (del promedio) de 1 parte en 100000 medida por la observación de WMAP.
  • (c) Este es el espectro de potencia para mostrar la variación de temperatura (al cuadrado) en función del momento multipolar. De este gráfico se derivan muchos de los parámetros cósmicos.

Figura 00c CMB

Figura 00d Simulación de CDF [ver imagen grande]

Función de correlación de dos puntos (base teórica del espectro de potencia)

Figura 01a1 Función de correlación

Figura 01a2 Función Bessel, 1er tipo [ver imagen grande]

Figura 01a4 Evolución del espectro de potencia [ver imagen grande]

La definición convencional de la varianza es como indicador de fluctuación, incertidumbre, propagación. de las medidas en cierta variable x, donde es el valor medio (promedio) y N el número total de mediciones. Vea una ilustración gráfica en la Figura 03a en la que f (x) dx = (nI/ N) dx donde nI es el número de mediciones dentro del rango dx en xI.
Consulte "Formación de estructuras a gran escala" para obtener detalles matemáticos sobre la derivación de la varianza a partir de la correlación.

Figura 01a5 Espectro de potencia = Ak [ver imagen grande]

Reducción de datos de CMB (edición 2019)

1 - 0,03 cm) mientras que el CMB esperado está en el rango de (

Figura 01a6 Bandas de frecuencia

  • Bandas de frecuencia - LFI: (30, 44, 70), HFI: (100, 143, 217, 353, 545, 857) GHz correspondiente al rango de longitud de onda de 1 a 0,035 cm. El ancho de banda / es 0,2 para LFI y 0,33 para HFI.
  • Datos: el flujo de datos (finalmente en forma de nanovoltio, Figura 01a7, a) consiste en las mediciones de la intensidad del cielo obtenidas por la nave espacial Planck mientras giraba a 1 revolución por minuto. Cada medición está etiquetada por la ubicación en el cielo a la que se señaló, la hora de la observación y si un objeto del sistema solar estaba o no dentro del haz (esta información se usa para corregir el ruido).
  • Volumen de datos: hay aproximadamente 1 TB de datos recopilados en las mediciones de CMB. Por tanto, se diseñan muchos esquemas para minimizar el esfuerzo de procesamiento.

donde Dt es un vector para los datos ordenados en el tiempo, otro vector spag denota la señal de una ubicación en el píxel p, (Atp) representa una matriz, que tiene elementos que relacionan el TOD con un píxel específico, mientras que nt es el vector de ruido (ordenado por tiempo). El procesamiento consiste en vincular cada uno de los píxeles p a una señal, que se interpreta como temperatura en los mapas CMB (codificados por colores). Para el caso de que no haya ruido, lo desconocidopag está determinada por la inversa Apt, es decir.,

El caso del ruido es más complicado, dado por la fórmula (ver otras alternativas en "Métodos de elaboración de mapas para CMB"):

spag = [A T N -1 A] -1 A T norte -1 dt

dónde norte es la matriz (en negrita) del ruido en la línea de tiempo: norte = T>, y A T, n T son la transpuesta de A, n respectivamente.

La matriz señaladora A tiene una dimensión enorme de Nt X Npag

100 mil millones de entradas. Por lo general, es una matriz muy dispersa, donde cada fila tiene una única entrada distinta de cero para una observación de temperatura en el píxel correspondiente. Dado que un píxel se habría escaneado muchas veces, cada columna tendría muchas entradas distintas de cero. Se vuelve más complicado con las medidas adicionales de polarización. Los ejemplos siguientes son una matriz de apuntamiento y un vector de señal muy reducidos con Nt = 4, Npag = 5 para un total de 20 entradas.

, y una captura de pantalla de TV HD de 1080p .

Figura 01a7 Reducción de datos de CMB

Figura 01a8 Probabilidad bayesiana

Figura 01a9 Distribución de Bernoulli

Figura 01a10 Función de probabilidad

Figura 01a11 Distribución gaissiana

Figura 01a12 Probabilidad de datos de CMB, gaussiano multivariante

Figura 01a13 Espectro de prisma [ver imagen grande]

Figura 01a14 Transformada de Fourier de la señal musical

kBT, tal unidad sólo está relacionada de forma remota con el poder (= energía / seg) creando mucha confusión para el novato desconcertante: "¿dónde diablos está el poder"? Una designación más apropiada sería algo así como "Espectro de variación de temperatura" (o "Espectro de TV", sin juego de palabras).

Figura 01a15 CMB Power Spectrum [ver imagen grande]

  1. Aumento de ISW (Efecto Sachs-Wolfe integrado): este efecto surgió de las perturbaciones dependientes del tiempo del campo gravitacional. El efecto es la suma de las contribuciones a lo largo del camino de los fotones. Ha sido confirmado a través de correlaciones entre las anisotropías de gran ángulo (fluctuaciones de temperatura) y la estructura a gran escala.
  2. Meseta de Sachs-Wolfe: la perturbación del campo de gravitación a gran escala es responsable de esta aparición casi constante en /> s más bajas. Las anisotropías a esta escala no han evolucionado significativamente y, por lo tanto, reflejan directamente las "condiciones iniciales".
  3. Picos acústicos (Doppler): la rica estructura en esta región es la consecuencia de la oscilación acústica impulsada por la presión de radiación repulsiva y la gravedad atractiva (como se explica con más detalles más adelante). El pico principal es el modo oscilatorio que pasó por 1/4 de período (alcanzando la máxima compresión) en el momento de la recombinación (entre electrones y protones para formar átomos neutros). Los picos inferiores corresponden a la serie armónica de la frecuencia de pico principal. Un efecto adicional proviene de la proyección geométrica tal que la posición angular de los picos es sensible a la curvatura espacial del universo.
  4. Cola de amortiguación (estribaciones Doppler): el proceso de recombinación no es instantáneo, lo que da un grosor a la última superficie de dispersión. Esto conduce a un amortiguamiento de las anisotropías en el alto /> s, correspondiente a escalas menores que la subtendida por este espesor. La amortiguación corta las anisotropías en los multipolos arriba

Figura 01a16 Coordenadas galácticas [ver imagen grande]

Figura 01a17 Espectro de potencia de banda [ver imagen grande]

Figura 01a18 Espectro de potencia de probabilidad [ver imagen grande]

Figura 01a19 Espectro de cuerpo negro [ver imagen grande]

Figura 01a20 Efecto de profundidad óptica [ver imagen grande]

    Aquí hay algunos comentarios sobre la ecuación (1k) como se ilustra en la Figura 01a21:

Figura 01a21 Formación CMB [ver imagen grande]

Figura 01a22 Parámetros cósmicos [ver imagen grande]

Generación del espectro de potencia CMBR

    La estructura del universo está sembrada por fluctuaciones cuánticas aleatorias al comienzo del Big Bang. Un período de rápida expansión, llamado inflación, provocó que estas fluctuaciones cuánticas se extendieran a escalas cósmicas.

Figura 02 Oscilaciones acústicas

(x) = k<>k cos (kx)> ---------- (1)

Figura 03a Distribución gaussiana

Figura 03b Recombinación

Datos de observación

Dado que los datos de observación se obtienen de una superficie esférica bidimensional en términos de coordenadas angulares, la variación de temperatura en la gráfica del espectro de potencia se expresa a menudo en términos del ángulo (como se muestra en el mapa WMAP) o su contraparte de la transformada de Fourier (frecuencia angular o multipolo como se muestra en la Figura 01a15). Matemáticamente, la función trigonométrica cos (kx) (el cambio de fase) en la ecuación (1) es reemplazada por los armónicos esféricos Ymetro(,), dónde = 0 denota el monopolo, = 1 el dipolo, = 2 el cuadrupolo,. ym puede ser cualquier número entero entre - y . El coeficiente Gk es reemplazado por unlm . Cada unolm constituye un modo multipolar. En efecto, la x en la ecuación (1) se reemplaza por las coordenadas angulares y su transformada de Fourier k está relacionada con el momento multipolar . Por lo tanto, en términos de armónicos esféricos, la variación de temperatura se puede expresar como:

Figura 03c Polinomios de Legendre [ver imagen grande]

nótese bien Si bien no se sabe exactamente cómo los equipos de WMAP y Planck evalúan los datos de observación, la llamada "tensión de Hubble" podría ser causada por el tratamiento de la parte inferior términos, ya que se ve más afectado por la diferencia en la transformación de una suma discreta a una integración continua (consulte la ecuación (2b) anterior y un gráfico animado para ilustrar la dependencia constante de Hubble del multipolo inferior del espectro CMB).


Confusiones entre el espectro de potencia y el espectro de potencia de la materia y la relación entre los espectros de potencia angular y 3D

De una publicación anterior Relación entre los espectros de potencia angular y 3D, obtuve una demostración que establece el vínculo entre el espectro de potencia angular $ C _ < ell> $ y el espectro de potencia de materia 3D $ P (k) $.

El punto de partida es la relación entre & quot; espectro de potencia $ P (k) $ & quot y la función de autocorrelación $ xi (r) $:

Supongo que el & quotPower espectro $ P (k) $ & quot es la transformada de Fourier inversa:

Lo siento si los factores exponenciales no son correctos, avíseme si esta es la expresión correcta de $ P (k) $.

  1. Ahora, hago confusiones entre este espectro de potencia $ P (k) $ definido anteriormente y el espectro de potencia de la materia como se ilustra en esta figura a continuación:

¿Cuál es la relación entre estas 2 cantidades del espectro de potencia ($ P (k) $ y el espectro de potencia de la materia en la imagen de arriba)? ¿Existe simplemente un factor entre ambos o son iguales?

la expresión que vincula el espectro de potencia 3D (¿Espectro de potencia de la materia?) y espectro de potencia angular (& quotMaterial espectro de potencia angular & quot?) es :

$ P (k) = frac <2> < pi> int_0 ^ infty z ^ 2 dz C _ < ell> (z, z) $

Me doy cuenta de que $ P (k) $ no depende de $ k $ en esta expresión, es decir, la variable $ k $ no aparece en el miembro derecho.


Las funciones toman parámetros cosmológicos (que pueden ser matrices numerosas) como palabras clave e ignoran las palabras clave adicionales. Esto significa que puede hacer un diccionario de todos sus parámetros cosmológicos y pasarlo a cualquier función usando la sintaxis **.

El paquete cosmolopy también define algunos atajos convenientes, incluida una cosmología fiducial (actualmente la media WMAP7 + BAO + H0), por lo que puede hacer esto:

Calcule la masa de un halo con temperatura Virial de 10 ^ 4 kelvin, luego verifique la temperatura Virial para un halo de esa masa:

Calcule las densidades críticas y de materia:

Busque en los directorios tests / y examples / para ver más ejemplos.


1 respuesta 1

Dado $ tag <1> C _ < ell> left (z, z ^ < prime> right) = int_ <0> ^ < infty> dkk ^ <2> j _ < ell> (kz) j _ < ell> left (kz ^ < prime> right) P (k) $ Pregunta: ¿cómo invertir la integral para encontrar la función $ P (k) $?

La relación de cierre para la función esférica de Bessel: $ tag <2> int_0 ^ infty x ^ 2 j_n (xu) j_n (xv) dx = frac < pi> <2u ^ 2> delta (u-v). PS

Una vez más, multiplique la ecuación (3) con $ z '^ 2 j_ ell (q'z') $ y la integral sobre $ z '$ begin int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') int_0 ^ infty z ^ 2 j_ ell (qz) C _ < ell> left (z, z ^ < prime> right) dz = & amp frac < pi> <2> left < int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') j _ < ell> (q z') derecha > P (q). = & amp frac < pi> <2> left < frac < pi> <2q '^ 2> delta (q-q') right > P (q) etiqueta <4>. end

Para mover la función $ delta $ en el lado derecho, multiplicamos la ecuación. (4) (tenga en cuenta que solo $ q = q '$ tiene contribución) con $ q' ^ 2 $ e integral sobre $ q '$: begin int_0 ^ infty dq 'q' ^ 2 int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') int_0 ^ infty z ^ 2 j_ ell (q'z) C _ < ell> left (z, z ' right) dz = & amp frac < pi ^ 2> <4> int_0 ^ infty dq' delta (q-q ') P (q). = & amp frac < pi ^ 2> <4> P (q) tag <5>. final

El lado izquierdo de la ecuación (5) begin int_0 ^ infty dq '& amp q' ^ 2 int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') int_0 ^ infty z ^ 2 j_ ell (q'z) C_ < ell> left (z, z ' right) dz = & amp int_0 ^ infty z' ^ 2 dz ' int_0 ^ infty z ^ 2 dz left < int_0 ^ infty dq' q '^ 2 j_ ell (q'z') j_ ell (q'z) right > C _ < ell> (z, z ') = & amp int_0 ^ infty z' ^ 2 dz ' int_0 ^ infty z ^ 2 dz left < frac < pi> <2z ^ 2> delta (z-z ') right > C _ < ell> (z, z') = & amp frac < pi> <2> int_0 ^ infty z ^ 2 dz C _ < ell> (z, z). etiqueta <6> end

Combine la ecuación (5) y la ecuación (6) $ P (q) = frac <2> < pi> int_0 ^ infty z ^ 2 dz C _ < ell> (z, z). PS


Relación entre el espectro de potencia de la materia $ P (k) $ y el espectro de potencia angular de la materia $ C _ $

Resumen: $ quad $ Me gustaría profundizar en la relación entre el espectro de potencia de la materia y el espectro de potencia angular.

De una publicación anterior sobre la relación entre los espectros de potencia angular y 3D, obtuve una demostración que establece el vínculo entre el espectro de potencia angular $ C _ < ell> $ y el espectro de potencia de materia 3D $ P (k) $:

Tal vez esto se deba al hecho de que hablamos de las fluctuaciones de la materia $ C _ < ell> $ y no de las fluctuaciones de temperatura (como en el espectro de potencia angular de CMB), ¿alguien podría confirmar esta ambigüedad?

  1. Por ejemplo, tengo la siguiente demostración, $ C _ < ell> left (z, z ^ < prime> right) = int_ <0> ^ < infty> dkk ^ <2> j _ < ell> (kz) j _ < ell> left (kz ^ < prime> right) P (k) tag <1> $ donde $ j _ < ell> $ son las funciones esféricas de Bessel.

Pregunta: ¿cómo invertir la integral para encontrar la función $ P (k) $?

== & gt La relación de cierre para la función esférica de Bessel: $ int_ <0> ^ < infty> x ^ <2> j_(x u) j_(x v) d x = frac < pi> <2 u ^ <2>> delta (u-v) $

Multiplica $ (1) $ con $ z ^ <2> j _ < ell> (q z) $ y la integral sobre $ z $:

¿Solo dependiente del ángulo y dependiente del corrimiento al rojo? ya que solo el corrimiento al rojo $ z $ aparece en esta expresión?

En cosmología, el espectro de potencia angular depende del multipolo anotado $ l $ (transformación de Legendre) que está relacionado con cantidades angulares $ ( theta $ y $ phi) $. Pero el espectro de potencia de la materia depende del número de onda $ k $ (con transformada de Fourier).

Creo que me equivoco al decir que, en la definición de $ C ell $, se escribe $ C ell left (z, z ^ < prime> right) $ donde $ z $ y $ z $ 'podrían ser entendido como corrimiento al rojo.

Pero aquí nuevamente, hablamos de los $ C _ < ell> $ de las fluctuaciones de la materia y no de las fluctuaciones de temperatura, ¿estás de acuerdo?

¿Qué representan $ z $ y $ z ^ < prime> $ desde su punto de vista en la expresión $ C ell left (z, z ^ < prime> right)? $

¿Dónde está mi malentendido?

Gracias de antemano por su ayuda y no dude en pedirme más información si no he sido lo suficientemente claro.


Ver el vídeo: 04 Module 9 3 Large Scale Structure Power Spectrum 12 08 (Diciembre 2022).