Astronomía

Datos para "verificar" la primera ley de Kepler

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Quiero "comprobar" la primera ley de Kepler utilizando datos reales de Marte. De la ecuación de la elipse, deduje

$$ frac {1} {r} = frac {a} {b ^ 2} + frac {a} {b ^ 2} cdot epsilon cdot cos ( varphi), $$

dónde $ a $ es el semieje principal, $ b $ es el semieje menor y $ epsilon $ es la excentricidad de la órbita elíptica. Estoy buscando el siguiente tipo de datos:

  1. La distancia de Marte al Sol $ r $
  2. el ángulo $ varphi $ entre Marte, el Sol y el eje principal de la órbita elíptica.

Entonces, quiero comprobar si $ r $ y $ varphi $ ajustar los valores medidos de $ a $, $ b $ y $ epsilon $. Si no hay tales datos (vista perpendicular en el plano orbital de Marte) disponibles, ¿cómo puedo transformar los datos dados en otros sistemas de coordenadas a los que necesito? En un sitio web de la NASA (https://omniweb.gsfc.nasa.gov/coho/helios/heli.html) encontré datos en las coordenadas "Eclíptica solar", "Heliográfica" y "Inercial heliográfica", pero no sé que se acercan más a mi plan.

Actualizar:

Lo probé con las recomendaciones de uhoh. Desafortunadamente fallé.

Con el siguiente código de Python, usando los datos de Horizons x, y, z almacenados en un archivo xlsx,

de __future__ import division import numpy as np from statsmodels.regression.linear_model import OLS from statsmodels.tools import add_constant from statsmodels.tools.eval_measures import aicc import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt horizons = pd.readizons2.xls ") horizons = np.array (horizons) horizonsxyz = horizons [:, 2: 5] horizonsxyz = np.array (horizonsxyz, dtype = np.float64) hx = horizonsxyz [:, 0] hy = horizonsxyz [:, 1] hz = horizontesxyz [:, 2] horizontesr = np.sqrt (hx ** 2 + hy ** 2 + hz ** 2) horizontesr = horizontesr * 6.68459 * (10 ** (- 9)) phi = np.arctan2 ( hy, hx) * 180 / np.pi phi2 = np.mod (phi + 360, 360) phia = np.mod (phi-286, 360) phiganz = add_constant (phia) horizonsdurchr = 1 / horizonsr horizons_regr = OLS (horizonsdurchr , phiganz) .fit () print (horizons_regr.params) print (horizons_regr.summary ()) y_pred_horizons = np.dot (phiganz, horizons_regr.params) print (horizons_regr.params)

Obtengo un valor de $ 7.1349 cdot10 ^ {- 1} $ por $ frac {a} {b ^ 2} $. Esto es malo, pero al menos en el orden correcto de magnitud. Sin embargo para $ frac {a} {b ^ 2} cdot epsilon $ Obtengo un valor realmente malo de $ -2.89228 cdot10 ^ {- 4} $. Proporcionar los dos resultados arroja una excentricidad estimada de $0.00044$ que está muy lejos de la verdad $0.0934$.

También probé otro enfoque, utilizando los datos heliográficos mencionados anteriormente. Aquí, me acerco, pero solo si sumo 35 grados a los ángulos, lo cual no tiene sentido, ya que debería sumar 74 grados o restar 278 grados, para obtener el ángulo relativo al perihelio.


¡Gran proyecto! y bienvenido a este sitio. Publicaré una respuesta corta, pero creo que alguien puede agregar una respuesta más detallada, completa y perspicaz.

Creo que ese sitio web no es adecuado, así que responderé basándome en que cambies a Horizons. Si te gusta Python, entonces es más divertido usar Skyfield.

Si desea aplicar una ecuación basada en un modelo de órbita de Kepler, deberá usar datos en los que el Sol permanece en un lugar y Marte orbita a su alrededor. Eso sería Heliocéntrico con el Sol en (0, 0, 0).

Que ahí hay tres ceros plantea la cuestión del número de dimensiones; Las órbitas de Kepler adecuadas son una especie de 3D, es decir, tienen un plano orbital que se puede inclinar a un plano de referencia, pero las órbitas son planas. Dos problemas; tu ecuación asume Órbita plana 2D debido a la forma $ varphi $ se define. Idealmente, le gustaría tener datos en el plano de la órbita de Marte y es posible que deba transformar los datos de NASA / JPL Horizons en el plano orbital de Marte usted mismo porque solo hay dos planos "oficiales" principales, ningún planeta real permanece perfectamente en un plano.

Entonces, lo que hagas depende de qué tan lejos de la madriguera de las órbitas fingidas estén los aviones a los que quieras llegar.

Aproximación de orden cero

Ir a Horizontes

Utilice este tutorial y configúrelo para que coincida con lo siguiente:

Configuración actual Tipo de efemérides: VECTORES Cuerpo objetivo: Marte [499] Origen de coordenadas: Sol (centro del cuerpo) [500 @ 10] Intervalo de tiempo: Inicio = 2020-10-04, Parada = 2020-10-05, Paso = 1 d Tabla Ajustes: código de cantidades = 2; unidades de salida = KM-S; Formato CSV = SÍ Pantalla / Salida: predeterminado (HTML formateado) - O - Pantalla / Salida: descargar / guardar (archivo de texto sin formato)

Aquí hay una línea de muestra para Marte para hoy. usando el sol como origen (He truncado algunos dígitos decimales). Verás de inmediato que Marte está a unos 201 millones de km del Sol, también está a unos 4 millones de km por debajo de la eclíptica J2000.0.

2459126.500, A.D. 2020-Oct-04 00: 00: 00.00, 2.036231544E + 08, 5.355405115E + 07, -3.872888712E + 06…

Desde aquí puedes aproximar

$$ r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} $$

y

$$ varphi = arctan2 (y, x) - text {286.502 °} $$

Dado que está pasando por los cuatro cuadrantes, es mejor usar elarctan2 (y, x)oatan2 (y, x)con dos argumentos, no $ arctan (y / x) $ que solo funciona en dos cuadrantes (es decir, 1/7 = -1 / -7).

Aproximación de primer orden

Verás de inmediato que Marte está a unos 201 millones de km del Sol, también está a unos 4 millones de km por debajo de la eclíptica J2000.0.

Si desea corregir la inclinación de la órbita de Marte con respecto a la eclíptica, puede encontrar el mejor plano que se ajuste a los datos de un año marciano y hacer su propia eclíptica de Marte.

Pero te recomiendo que hagas el orden cero primero y veas qué tan bien o mal funciona, luego puedes decidir si quieres inclinar.


La primera ley de Kepler es que un planeta se mueve en una elipse con el sol en un foco. Su ecuación es la de una elipse sobre el foco, entonces, ha probado la primera ley de Kepler. La $ varphi $ es lo que los astrónomos llaman verdadera anomalía. Para poner su ecuación en la forma habitual, $ a / b ^ 2 $ es $ 1 / p $ entonces $$ r = frac {p} {1+ epsilon cos varphi} $$

Con esta ecuación, la elipse se puede trazar eligiendo muchos valores del ángulo $ varphi $ y encontrar los valores r correspondientes, luego graficar.

Los astrónomos llaman p el parámetro y los matemáticos semi-latus recto. Como puede ver, cuando $ varphi $ es 90 grados, el valor de r es p. También, $ p = a (1- epsilon ^ 2) $ que se puede poner en la ecuación anterior como una forma alternativa de la ecuación.

La ley de Kepler no proporciona información sobre dónde se encuentra el perihelio en el plano orbital.


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¿Cuál es la forma de una órbita planetaria? Los astrónomos desde Ptolomeo hasta Copérnico tenían una respuesta clara (pero incorrecta) a esta pregunta: un planeta se mueve en un círculo o al menos en una órbita que puede explicarse por la superposición de movimientos circulares. Era Johannes Kepler que terminó con esta idea equivocada en 1609. Después de haber analizado los grandes y precisos datos de observación de Tycho Brahe, descubrió que los planetas orbitan en elipses. Los puntos de una elipse se caracterizan por la propiedad de que la suma de sus distancias al llamado focos es constante.

Primera ley de Kepler del movimiento planetario inalterado:
La órbita de cada planeta es una elipse y el Sol está en un foco.

El siguiente subprograma de Java ilustra esta ley. Un planeta (azul) se puede desplazar presionando el botón del mouse en su órbita alrededor del Sol (rojo). En la parte superior derecha del panel verde, puede seleccionar uno de los nueve planetas o el cometa Halley. Además, es posible investigar la órbita de un cuerpo celeste imaginario ingresando su semieje mayor y su excentridad numérica (menos de 1). El programa calculará la longitud del semieje menor y la corriente, la distancia mínima y máxima del Sol. Estas longitudes se dan en unidades astronómicas (AU). 1 AU = 1,49597870 x 10 11 m se define como la distancia media entre la Tierra y el Sol. En la parte inferior derecha puede decidir si se trazarán la órbita elíptica, los ejes de la elipse y las líneas de conexión entre el cuerpo celeste y los focos (F y F ').


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Dominio publico

Tycho Brahe realizó numerosas mediciones de las posiciones de los objetos astronómicos hasta su muerte en 1601. Sus mediciones fueron precisas en más de 1/100 de grado.

Johannes Kepler fue el asistente de Tycho. Kepler intentó obtener los datos de Tycho para que se ajustaran al modelo del sistema solar heliocéntrico de Copérnico. (Kepler y Tycho no se llevaban bien.) ¡Pero los datos de Tycho no funcionaban exactamente para un sistema solar heliocéntrico! Así que Kepler buscó un nuevo modelo y, a partir de ahí, desarrolló las leyes de Kepler.

Primera ley de Kepler

Los planetas viajan alrededor del Sol en órbitas elípticas. Copérnico pensó que los planetas se movían en círculos perfectos, mientras que Kepler los definió como elipses, basándose en los datos de Brahe.

Segunda ley de Kepler

Cuando un planeta orbita alrededor del Sol, barre áreas iguales de su elipse en períodos de tiempo iguales. Cuanto más cerca está el planeta del Sol (o de su estrella), más rápido se mueve.

La segunda ley de Kepler & # 8217 se establece como:

  • v es la velocidad del objeto en órbita
  • a es el semieje mayor de la órbita del objeto
  • PAG es el período sideral de la revolución
  • r es la distancia entre el objeto en órbita y el cuerpo en órbita, como la Tierra orbitando al Sol o la Luna orbitando a la Tierra

Tercera ley de Kepler

Existe una relación entre el período del planeta y su distancia del Sol.


Foto de astronomía del día

¡Descubre el cosmos! Cada día se presenta una imagen o fotografía diferente de nuestro fascinante universo, junto con una breve explicación escrita por un astrónomo profesional.

2001 14 de enero
Kepler descubre cómo se mueven los planetas
Crédito: Johnnes Kepler Gesammelte Werke , C. H. Beck, 1937

Explicación: Johannes Kepler usó matemáticas simples para describir cómo se mueven los planetas. Kepler fue asistente del observador astronómico más preciso de la época, Tycho Brahe. Kepler pudo usar los datos de Brahe para mostrar que los planetas se mueven en elipses alrededor del Sol (Primera Ley de Kepler), que los planetas se mueven proporcionalmente más rápido en sus órbitas cuando están más cerca del Sol (Segunda Ley de Kepler) y que los planetas más distantes toman proporcionalmente más tiempo para orbitar el Sol (Tercera Ley de Kepler). Kepler vivió desde 1571 hasta 1630, durante la época del descubrimiento del telescopio. Kepler fue uno de los pocos partidarios de los descubrimientos de Galileo y del sistema copernicano de planetas que orbitan alrededor del Sol en lugar de la Tierra.


Foto de astronomía del día

¡Descubre el cosmos! Cada día se presenta una imagen o fotografía diferente de nuestro fascinante universo, junto con una breve explicación escrita por un astrónomo profesional.

13 de septiembre de 1997
Kepler descubre cómo se mueven los planetas
Crédito: Johnnes Kepler Gesammelte Werke , C. H. Beck, 1937

Explicación: Johannes Kepler usó matemáticas simples para describir cómo se mueven los planetas. Kepler fue asistente del observador astronómico más preciso de la época, Tycho Brahe. Kepler pudo usar los datos de Brahe para mostrar que los planetas se mueven en elipses alrededor del Sol (Primera Ley de Kepler), que los planetas se mueven proporcionalmente más rápido en sus órbitas cuando están más cerca del Sol (Segunda Ley de Kepler) y que los planetas más distantes toman proporcionalmente más tiempo para orbitar el Sol (Tercera Ley de Kepler). Kepler vivió desde 1571 hasta 1630, durante la época del descubrimiento del telescopio. Kepler fue uno de los pocos partidarios de los descubrimientos de Galileo y del sistema copernicano de planetas que orbitan alrededor del Sol en lugar de la Tierra.


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Poco antes de morir, Tycho contrató Johannes Kepler para interpretar sus observaciones de los planetas. Ver http://kepler.nasa.gov/Mission/JohannesKepler/ o http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

Puntos clave: Filosofía que impulsó la ciencia de Kepler Las tres leyes de Kepler

Después de la muerte de Tycho, sus familiares lucharon contra Kepler por las observaciones porque querían obtener la gloria que resultaría de interpretarlas. Finalmente, Kepler se impuso. Se necesitaba tanto genio como ambición para sacar provecho del trabajo de Tycho: ¡los parientes de Tycho no tenían ninguna oportunidad!

Kepler creía en el sistema copernicano y buscó la clave para reconciliar las observaciones de Tycho & # 146 con un modelo heliocéntrico para el sistema solar. Además de su genio matemático, su contribución filosófica fue enorme, como lo describe Einstein: "[Kepler] tuvo que darse cuenta claramente de que la teorización lógico-matemática, sin importar cuán lúcida sea, no puede garantizar la verdad por sí misma que la teoría lógica más hermosa significa nada en las ciencias naturales sin comparación con la experiencia más exacta. Sin esta actitud filosófica, su trabajo no habría sido posible '' (de la introducción que escribió Einstein para 'Johannes Kepler: Life and Letters' de Baumgard & amp Callan (1953)). El enfoque de Kepler en ajustar las observaciones exactas de Tycho lo llevó a abandonar la idea de que los planetas tenían que moverse en combinaciones de círculos, ¡un poco de teorización lógico-matemática que había prevalecido durante 1800 años!

Kepler estaba obsesionado con encontrar un ajuste: a continuación se muestran dos páginas de los cientos que cubrió con cálculos (De Astronomía, por Fred Hoyle):

A veces subestimamos los avances "menores": uno de los problemas de Kepler era que no se había inventado la notación numérica decimal, por lo que tenía que llevar fracciones.

Este descubrimiento sobre las formas de los planetas y las órbitas # 146 ahora se conoce como

Primera ley de Kepler: las órbitas de los planetas son elipses con el sol en un foco de la elipse.

Kepler también descubrió otras dos leyes:

Segunda ley de Kepler: la línea que une el planeta con el sol barre áreas iguales en tiempos iguales a medida que se mueve a lo largo de su órbita.

Una implicación de la Segunda Ley de Kepler es que un planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del sol y más lento cuando está más distante.

Tercera ley de Kepler & # 146: La razón de los cuadrados de los períodos orbitales de dos planetas es igual a la razón de los cubos de los radios de sus órbitas. . El período es el tiempo que tarda el planeta en dar la vuelta completa a su órbita (un año para la Tierra).

Aquí hay una muestra de cómo funciona esto en el sistema solar. La ley de Kepler predice que la relación entre el período orbital al cuadrado y el radio orbital al cubo siempre debe ser la misma:

Planeta Radio de órbita (R) en A.U. Cubo de radio, R 3 Tiempo para dar la vuelta a la órbita (Periodo, P) en años. P 2 P 2 / R 3
Mercurio 0.387 .0580 .241 .0581 1
Venus 0.723 .378 .615 .378 1
tierra 1.00 1.00 1.00 1.00 1
Marte 1.524 3.54 1.881 3.538 1

Esta ley implica que los planetas más alejados del sol no solo tienen años más largos, sino que en realidad se mueven más lentamente a lo largo de sus órbitas.

Hans von Aachen agregó una imagen del eclipse de 1605 a su pintura de Adán y Eva expulsados ​​del Jardín del Edén (foto de G. Rieke)

Kepler pudo derivar una descripción geométrica de cómo se mueven los planetas que se ajusta muy bien a los datos existentes:

¿Tycho y Kepler & citaron & quot el problema de los movimientos planetarios?

Kepler no dio con el POR QUÉ & # 150 se estaba acercando con su sugerencia de alguna fuerza capaz de actuar a distancia sin tener que estar realmente en contacto físico con los planetas. Pensó que esto podría ser algo así como la fuerza ejercida por un imán. Imaginó al sol como la fuente de esta fuerza.

Kepler trabajó durante una de las guerras más devastadoras de la historia de la humanidad, la & quot; Guerra de los 30 años & quot

Apoyó a su familia a través de la astrología y tenía varias ideas sobre el sistema planetario que pertenecen más a esa disciplina que a la astronomía. Por ejemplo, propuso que los tamaños de las órbitas planetarias venían dados por los diámetros de las esferas que podrían circunscribirse alrededor de los polígonos regulares si se dispusieran en un cierto orden (From Astronomy, de Fred Hoyle).

Propuso que las elipticidades de las órbitas de los planetas estaban determinadas por las melodías que tarareaban a su alrededor: la `` música de las esferas ''. (Ilustraciones de Astronomy, Fred Hoyle, y Cambridge Illustrated History of Astronomy por M. Hoskin).


Las leyes del movimiento planetario de Kepler descritas utilizando satélites terrestres

Las leyes del movimiento planetario de Kepler también se pueden utilizar para describir el movimiento de los satélites en órbita alrededor de la Tierra.

Primera ley: la órbita de cada satélite es una elipse con la Tierra en uno de los dos focos (puntos rojos y azules).

Primera ley: la órbita de cada satélite es una elipse con la Tierra en uno de los dos focos (puntos rojos y azules).

Segunda ley: una línea que une un satélite y la Tierra barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.

Segunda ley: una línea que une un satélite y la Tierra barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.


Universidad Estatal de Kansas

En 1687, Newton publicó su Principia en el que demostró que las tres leyes de Kepler eran todas consecuencia del supuesto único de que el movimiento planetario está gobernado por una atracción al cuadrado inverso (gravedad) hacia el sol. Esto selló la aceptación de las leyes de Kepler en la comunidad científica y estableció la teoría de la gravedad de Newton, ya que explicaba las tres leyes en una simple suposición. Aunque Newton era bien conocido en la comunidad científica antes de la publicación de la Principia, luego se hizo mucho más famoso en general, de la misma manera que se vería a Einstein en el siglo XX. La derivación de las leyes de Kepler a partir de la teoría de la gravedad de Newton se considera generalmente uno de los mayores logros intelectuales de la historia.

De Newton Principia no usa cálculo, pero hace un uso extensivo de las técnicas infinitesimales que Newton usó para desarrollar el cálculo. Parece apropiado que, como piedra angular de la secuencia del cálculo, pasemos por el desarrollo de las leyes de Kepler a partir de la teoría de Newton. Usaremos técnicas modernas de cálculo y ecuaciones diferenciales en lugar de los argumentos infinitesimales que usó Newton. De hecho, mostraremos que escribir las ecuaciones para el movimiento planetario basadas en la teoría de la gravedad de Newton conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineal. En el camino, deduciremos la segunda ley de Kepler. Luego usaremos nuestro truco estándar para convertir sistemas paramétricos en una sola ecuación junto con un cambio inspirado de variables para reducir el sistema no lineal a una sola ecuación diferencial lineal de coeficiente constante. Resolveremos esto usando las técnicas del capítulo 2. Esta solución se puede reconocer como una sección cónica, estableciendo la primera ley de Kepler. Finalmente, usaremos la segunda ley de Kepler en combinación con una fórmula para el área de una elipse para establecer la tercera ley de Kepler.

Aceleración en coordenadas polares

Ley de la gravedad de Newton

Conservación del momento angular

Segunda ley de Kepler

Escribir una ecuación para la órbita

Primera ley de Kepler

Dado que las formas polares de las secciones cónicas se han desviado del plan de estudios en la mayoría de las escuelas, es posible que tenga curiosidad sobre cómo reconocer que la fórmula anterior describe una sección cónica. El álgebra es sencillo, pero bastante complicado. Empezamos con $ r = frac <1>. $ Supondremos $ A & lt GM / c ^ 2 $, que corresponde a una elipse ($ A & gt GM / c ^ 2 $ es una hipérbola mientras que $ A = GM / c ^ 2 $ es una parábola). Nos resultará conveniente multiplicar primero la fracción en la parte superior e inferior derecha por $ c ^ 2 / (GM) $ para obtener $ r = frac<1 - (Ac ^ 2 / (GM)) cos ( theta)>. $ Entonces podemos preparar la ecuación para volver a las coordenadas rectangulares de la siguiente manera. $ begin r - (Ac ^ 2 / (GM)) r cos ( theta) & = c ^ 2 / (GM) r & = c ^ 2 / (GM) + (Ac ^ 2 / (GM)) r cos ( theta) r ^ 2 & = left (GM / c ^ 2 + (Ac ^ 2 / (GM)) r cos ( theta) right) ^ 2 end $ Ahora podemos sustituir $ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 $ y $ r cos ( theta) = x $ para obtener $ x ^ 2 + y ^ 2 = left (c ^ 2 / (GM ) + (Ac ^ 2 / (GM)) x derecha) ^ 2. $ Ésta es una expresión cuadrática, y cualquier ecuación de segundo orden en $ x $ y $ y $ corresponde a una sección cónica (y viceversa). Puede cuadrar el lado izquierdo y mover los términos hacia la derecha y completar el cuadrado para obtener la presentación estándar del libro de texto $ left ( frac right) ^ 2 + left ( frac right) ^ 2 = 1, $ pero esto se vuelve bastante complicado y he decidido que intentar seguir las manipulaciones es más probable que confunda que ilumine, así que nos detendremos aquí. Puedes mirar los problemas 19-21 que bosquejan el álgebra.

La relación $ Ac ^ 2 / (GM) $ se llama excentricidad de la órbita. Si la excentricidad es menor que 1, la órbita es una elipse. Si la excentricidad es mayor que 1 es una hipérbola, y si la excentricidad es exactamente 1 es una parábola. Ahora bien, si bien es posible que un objeto extrasolar atraviese el sistema solar con una velocidad tan alta que siga una trayectoria hiperbólica, las probabilidades en contra de tal evento son literalmente "astronómicas". Lo que se ha observado es que un cometa que tiene una órbita muy excéntrica se ve perturbado por la gravedad de un planeta para aumentar su velocidad (y por ende su excentricidad) para pasar de una excentricidad de poco menos de 1 a algo más. Dado que la nueva trayectoria tiene una excentricidad tan cercana a 1, los astrónomos suelen llamar a estas trayectorias parabólicas, aunque técnicamente son hiperbólicas.

Newton entendió que su trabajo también debería aplicarse a los cometas, pero tuvo dificultades para obtener predicciones que coincidieran con la observación. El problema es que las órbitas de los cometas suelen verse afectadas por la gravedad de los planetas. El amigo de Newton, Edmund Halley, resolvió esos detalles, lo que le permitió predecir el regreso del cometa que ahora lleva su nombre.

Área de una órbita

La fórmula estándar para el área de una elipse es $ pi ab $ donde $ a $ es el semieje mayor y $ b $ es el semieje menor. Si elaboramos la fórmula completa para la elipse en la sección anterior, podríamos obtener $ a $ y $ b $ de la ecuación, pero hay una forma más fácil, que implica desarrollar una fórmula nueva y bonita para el área en términos de perihelio y afelio. El perihelio es la distancia más cercana desde la órbita al sol (desde la elipse al foco), mientras que el afelio es la distancia más lejana. El diagrama de arriba, que modifiqué de un diagrama de Science Buddies, es no precisa en el sentido de que el Sol debería estar mucho más cerca del borde izquierdo de la órbita indicada, pero atraviesa las relaciones entre los ejes mayor y menor y el perihelio y el afelio. En particular, si dejamos que $ f $ sea la distancia focal, la distancia desde el sol en un foco al centro de la elipse, $ a $ sea el semieje mayor y $ b $ el semieje menor, entonces el perihelio es $ af $ mientras que el afelio es $ a + f $, por lo que el semieje mayor es la media aritmética del perihelio y el afelio, $ a = frac < text+ texto> <2>. $ Para obtener el eje semieje menor, recordemos que la propiedad definitoria de una elipse es que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante, que es $ 2a $, el eje mayor. Entonces, por simetría, la distancia del Sol a la elipse a lo largo de la hipotenusa en el diagrama es $ a $, mientras que los lados del triángulo rectángulo son $ f $ y $ b $. Entonces tenemos $ begin b & = sqrt & = sqrt <(a-f) (a + f)> & = sqrt < text times text>. final $ Entonces, el eje semi-menor, $ b $, es la media geométrica del perihelio y el afelio. Finalmente, el área es $ pi $ por el producto de las medias aritmética y geométrica del perihelio y el afelio, $ text = pi frac < text+ texto> <2> sqrt < text times text>. $ Entonces ahora necesitamos encontrar el perihelio y el afelio. Afortunadamente, podemos hacer esto fácilmente a partir de la forma polar que obtuvimos anteriormente, $ r = frac <1>. $ Dado que $ r $ es la distancia al sol, el perihelio es solo el valor mínimo de $ r $, mientras que el afelio es el valor máximo de $ r $. Dado que una fracción es más pequeña cuando el denominador es más grande, para encontrar el perihelio solo necesitamos maximizar $ GM / c ^ 2 - A cos ( theta) $. Pero como sabemos $ -1 le cos ( theta) le 1 $, podemos ver que el valor máximo será $ GM / c ^ 2 + A $ cuando $ cos ( theta) = -1 $ , entonces el perihelio será $ text = frac <1>. $ De manera similar encontramos $ text = frac <1>. $ Luego, los conectamos a nuestra fórmula de área para obtener $ begin exto & = pi frac12 left ( frac <1>+ frac <1> right) sqrt < left ( frac <1> right) left ( frac <1> right)> & = pi left ( frac<(GM / c ^ 2) ^ 2 - A ^ 2> right) frac <1> < sqrt <(GM / c ^ 2) ^ 2 - A ^ 2 >> & = pi frac< left ((GM / c ^ 2) ^ 2 - A ^ 2 right) ^ <3/2 >> end $


Astronomía 150

Johannes Kepler (1571-1630) fue una figura bastante extraña en la historia de la astronomía. Kepler no era realmente un observador, más bien era un matemático. Su análisis de los datos de observación de Tycho Brahe sobre la posición de Marte condujo a uno de los descubrimientos más importantes de la astronomía. Kepler descubrió que la órbita de Marte (así como todos los planetas del sistema solar) seguían tres relaciones. Estas relaciones ahora se conocen como Las tres leyes del movimiento planetario de Kepler. Cuando Kepler desarrolló sus leyes del movimiento planetario, no conocía la razón física subyacente por la que los planetas se comportaban de esta manera. Sus leyes eran relaciones puramente empíricas. Ahora sabemos que las leyes de Kepler son la consecuencia de los cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad. Esto significa que las leyes de Kepler son universales. No solo describen el movimiento de los planetas, sino también de satélites, cometas, asteroides, estrellas e incluso galaxias.

Las leyes de Kepler se aplican a cualquier objeto, que orbita otro objeto, bajo la influencia de la gravedad..

I. La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en un foco..

La imagen de la derecha muestra la órbita elíptica de un planeta (azul) alrededor del Sol (amarillo), con el Sol en uno de los focos de la elipse. En realidad, es el centro de masa del sistema solar el que está en un foco. El centro de masa de nuestro sistema solar está cerca de la superficie del Sol, por lo que decir que el Sol está en un foco no está muy lejos. En general, la primera ley de Kepler establece que la órbita de un objeto alrededor de otro es una elipse con el centro de masa del sistema en un foco.

Una órbita elíptica se caracteriza por dos parámetros (consulte la figura siguiente). El primer parámetro se llama semieje mayor y está representado por la letra a. El semieje mayor es una medida de la Talla de la órbita, cuanto más grande es el semi-eje mayor, más grande es la órbita. Para una órbita elíptica, el semieje mayor es también la distancia promedio del objeto (planeta) al foco (Sol). A menudo me referiré a la distancia media de una órbita. - este es realmente solo el eje semi-mayor.

El semi-eje mayor de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es 149,597,887.5 km (aproximadamente 93 millones de millas). Esta distancia se llama Unidad astronómica y está representado por AU. Esta será la unidad de distancia más común en esta clase. La Tierra está a 1 UA del Sol. Marte está a 1,52 UA del Sol, o aproximadamente 1,5 veces más lejos.

El segundo parámetro que caracteriza a una órbita elíptica se llama excentricidad y está representado por la letra mi. El valor de mi varía de 0.0 a 1.0. La excentricidad es una medida de la forma de la órbita. Cuanto mayor sea la excentricidad (cuanto más cerca esté de 1.0), más "plana" será la órbita.

La figura de la izquierda muestra tres órbitas con el mismo valor de a pero con diferentes valores de mi. La órbita verde tiene e = 0.0, la órbita roja e = 0.3 y la órbita azul tiene e = 0.7. Como puede ver, una órbita circular es simplemente una órbita elíptica con e = 0.0.

En nuestro sistema solar, las órbitas de la mayoría de los planetas son casi circulares. Un círculo es solo un caso especial en una elipse. La figura de la derecha muestra las órbitas de los 4 mundos internos Mercurio, Venus, Tierra y Marte. Como puede ver, sus órbitas son muy cercanas a las circulares. Hay objetos en nuestro sistema solar (es decir, cometas) con órbitas muy elípticas.

La velocidad de un planeta en órbita alrededor del Sol no es constante. La velocidad del planeta varía continuamente a medida que se mueve a lo largo de su órbita elíptica. El planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del Sol [llamado perihelio] y más lento cuando está más lejos [llamado afelio].

Una forma más precisa de definir la velocidad cambiante del planeta es imaginar una línea que conecta el planeta con el Sol. La segunda ley de Kepler luego establece:

II. Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales .

En esta figura, el planeta tarda la misma cantidad de tiempo en barrer el área azul que en barrer el área rosa. La segunda ley de Kepler establece entonces que el área de la cuña azul es la misma que la de la rosa. Por supuesto, puede tomar dos intervalos de tiempo iguales (no solo alrededor del afelio y el perihelio como he mostrado aquí) y las áreas barridas serán iguales.

En una órbita circular (e = 0.0) la velocidad del planeta es constante ya que la distancia desde el foco es siempre la misma. En una órbita muy elíptica (e cercana a 1.0) la velocidad de los planetas cambia mucho. Es muy rápido cerca del foco y muy lento lejos.

No solo la velocidad de un planeta en órbita alrededor del Sol no es constante, el tiempo que se necesita para hacer una órbita del Sol (llamado su Período) depende de distancia promedio del Sol al planeta. Los planetas que están más lejos del Sol tardan más en orbitar que los planetas que están más cerca del Sol (es decir. Marte tiene un período de 1,6 años, mientras que la Tierra tiene un período de 1 año).

La relación entre el período de un planeta y su distancia promedio viene dada por la tercera ley de Kepler:

III. Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los cubos de su semieje mayor (distancia media).

Esto se reduce a que cuanto más grande es el semieje mayor de una órbita, más tiempo le toma al planeta orbitar alrededor del Sol.

Es necesario decir un poco más sobre el negocio de la distancia media. La figura de la derecha muestra tres órbitas. Las tres órbitas tienen la misma distancia media. Sin embargo, dado que un planeta se mueve en una órbita elíptica, su distancia del Sol puede cambiar constantemente. Esto significa que incluso aunque dos objetos tengan la misma distancia promedio, pueden tener distancias muy diferentes en cualquier momento particular en el tiempo. Por ejemplo, el cometa Halley tiene un período de unos 76 años. La tercera ley de Kepler nos diría que el cometa Halley tiene una distancia promedio mucho mayor que la de la Tierra. Sin embargo, hay un momento en la órbita del cometa Halley que lo acerca más al Sol que a la Tierra.

La tercera ley de Kepler es una relación matemática entre el período de un planeta y su distancia promedio. Con un poco de álgebra simple podemos determinar uno de los valores si nos dan el otro. En primer lugar, ayuda a reorganizar ligeramente la relación y aplicar un poco de inteligencia:

La tercera ley de Kepler se puede reorganizar y convertir en una igualdad como se muestra a la izquierda. La Constante es solo un número. Sin embargo, es importante saber que este Constante es lo mismo para cualquier cosa que orbita alrededor del Sol. El valor de esto Constante depende de las unidades que utilice para medir el Período y Distancia promedio. Aquí es donde entra la parte inteligente:

Si mides el Período en [años] y el Distancia promedio en unidades astronómicas [AU] [una unidad astronómica se define como la distancia media entre la Tierra y el Sol], entonces la Constante es igual a 1. ¿Por qué es esto? Bueno, la Tierra tiene un período de 1 año y una distancia media de 1 UA. Inserte estos números en la ecuación anterior y la Constante es igual a 1. Ahora, dado que esta constante es la misma para todo lo que orbita alrededor del Sol, siempre que midas el período en años y la distancia promedio en AU, entonces el Constante es siempre 1.

Determine el período de un objeto que orbita alrededor del Sol a una distancia promedio de 4 AU.

Inserta la distancia promedio en la ecuación anterior, haz un poco de álgebra:

¡Y voilá! Un objeto con una distancia promedio de 4 AU tarda 8 años en dar la vuelta al Sol. Tan fácil como puede ser. Por supuesto, no todos (o muchos) problemas tienen respuestas enteras tan agradables, pero es por eso que se inventaron las calculadoras.

Este pequeño tutorial es una discusión muy cualitativa de las leyes de Kepler. Si desea sumergirse en todas las matemáticas divertidas de las leyes de Kepler, la entrada de Wikipedia es un buen lugar para comenzar.


Johannes Kepler, astrónomo alemán

Biografía de Johannes Kepler, el primer astrónomo que intentó explicar los fenómenos de la naturaleza a través de la observación y las mediciones, para desarrollar modelos adecuados.

Johannes Kepler es una figura clave en la revolución científica.

Astrónomo y matemático, conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe.

This admirable great man was able to brilliantly describe the movements of the planets, but he could not explain why they move around the Sun and what is the cause of their keeping in their orbits.

This is a task that he left to Isaac Newton.

Kepler’s childhood and studies

Kepler was born in Würtemberg, Germany, in the year 1571.

His parents aroused his interest in astronomy.

At the age of five, his mother took him to a high place to observe the comet of 1577.

At the age of nine, his father made him contemplate the lunar eclipse of January 31, 1580. He always remembered that the Moon looked quite red. Between the ages of nine and eleven he had to work as a laborer in the fields.

Comet lithograph in the year 1577. Credit: Wikipedia

Between the ages of nine and eleven he had to work as a laborer in the fields.

Kepler in his youth

In 1584 he entered the Adelberg Protestant Seminary.

In 1589 he entered the University of Tübingen.

There he studied ethics, dialectics, rhetoric, Greek, Hebrew, and astronomy.

In that year, his father left again for the war and disappeared from his life forever.

His math teacher, the astronomer Michael Maestlinle, taught the Copernicus heliocentric system whose explanation was reserved for the best students.

The other students took as true the geocentric system of Ptolemy, which stated that the Earth was immobile occupying the center of the Universe and that the Sun, the Moon, the planets and the stars revolved around it.

Kepler became a convinced Copernican and maintained a very close relationship with his teacher later, he did not hesitate to ask her for help or advice for his work.

University of Tuebingen, Germany. Credit: web “master-maestrias.com/universidades/Alemania/UniversityTuebingen/”

Kepler working life

While he was planning to become a Lutheran minister, he learned that the Protestant school in Graz was looking for a math teacher.

He then abandoned his studies in theology to take up the post, in 1594.

In Graz, Johann Kepler studied the motion of the planets and published almanacs with astrological predictions.

Engraving of the city of Graz, made in 1670 by Georg Matthäus Vischer. Credit: Wikipedia.

Kepler spent most of his life trying to understand the laws of planetary motion.

At first, he considered that the movement of the planets had to comply with the Pythagorean laws of harmony or the music of the celestial spheres.

He tried to show that the distances from the planets to the Sun were given by 6 spheres successively nested inside each other.

In these spheres would be the 6 planets: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter and Saturn.

In 1596, he wrote a book in which he expounded his ideas (“The Cosmic Mystery”).

Kepler collaborated with Tycho Brahe

Four years later, in 1600, he accepted the collaboration proposal made by Tycho Brahe, an astronomer for Emperor Rudolph II.

Brahe had set up the best astronomical observation center of that time, at Benatky Castle, near Prague.

The castle in Benátky. Credit: Wikipedia. Author: H. Raab

In the castle of Benátky (Czech Republic), Tycho Brahe lived from August 1599 to June 1600. In February 1600, Tycho Brahe and Johannes Kepler met here for the first time.

Tycho Brahe then had the best planetary observational data, much more accurate than those managed by Copernicus, but he refused to share them with Kepler.

Only when he was already on his deathbed did Tycho agree to bequeath Kepler the data on the orbits of the planets that he had collected for years.

Thanks to these data, the most accurate and abundant of the time, Kepler was able to deduce the real orbits of the known planets.

The Kepler’s Star

On October 17, 1604, Kepler observed a supernova in our own Galaxy, which would later be called Kepler’s star.

The star could be observed with the naked eye for 18 months after its appearance.

The supernova is only 13,000 light years from us. No subsequent supernovae have been observed in historical times within our own galaxy.

This is the remnant of Kepler’s supernova, the famous explosion that was discovered by Johannes Kepler in 1604. Credit: NASA/CXC/NCSU/M.Burkey et al Optical: DSS

The red, green and blue colors show low, intermediate and high energy X-rays observed with NASA’s Chandra X-ray Observatory, and the star field is from the Digitized Sky Survey.

Kepler’s mother was accused of witchcraft

A little later, in 1615, his mother was already 68 years old and she ran a boarding house.

She but she also worked as a healer and was accused of witchcraft.

Persuaded of her innocence, Kepler spent six years defending her in court and writing numerous pleadings.

She spent a year locked up in the tower of Güglingen although, thanks to her son, she escaped torture.

Finally, she was released on September 28, 1621. She weakened by the harsh years of trial and incarceration and she died six months later.

Kepler’s planetary model

Kepler initially tried to make his planetary model with the circumference, being the most perfect of the trajectories, but the observed data did not fit that model correctly.

Fortunately, Tycho had focused on Mars, which has a very pronounced elliptical otherwise it would have been impossible for Kepler to realize that the orbits of the planets were elliptical and not circular.

Unable to accept that God had not ordained that the planets describe the simplest geometric figure, he devoted himself with limitless determination to trying all sorts of combinations of circles.

When he was convinced that it was impossible to do it with circles, he tried ovals.

Disgruntled, by failing to fit a stubborn eight-minute difference of arc between the actual data and his theoretical model, he eventually found that the ellipse-based model fit perfectly with his and Tycho’s measurements.

Kepler’s three laws

This is how he came to write Kepler’s first law: “The planets describe elliptical movements around the Sun, the latter being located in one of the foci of the ellipse.”

First Kepler Law. Credit: web “aanda.org/glossary/198-keplers-laws”.

After that important mental leap, where for the first time the facts came before the wishes and the existing prejudices about the nature of the world, Kepler simply devoted himself to observing the data and drawing conclusions without any preconceived ideas.

He went on to check the speed of the planet through the orbits, arriving at the second law: “The planets, in their journey through the ellipse, sweep equal areas in the same time.”

Second Kepler Law. Credit: web “aanda.org/glossary/198-keplers-laws”.

For a long time, Kepler was able to confirm these two laws only on the other planets.

Still it was a spectacular achievement but it was necessary to relate the trajectories of the planets to each other.

After several years of observations and work, he discovered the third and most important law of planetary motion: “The square of the periods of the planets is proportional to the cube of their mean distance from the Sun“.

This law, also called the harmonic law, together with the other laws already made it possible to unify, predict and understand all the movements of the stars.

Thirth law of Kepler. Credit: web “hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html”

Kepler’s final years and death

These three laws astonished the world and made him the most famous astronomer of his time, although he did not stop feeling uneasy about the failure of his original intuition of simplicity (why ellipses, having circumferences?).

If he had been able to witness, three centuries later, when Einstein showed in his Theory of General Relativity that in the four-dimensional geometry of space-time the celestial bodies follow straight lines, he would have been satisfied with his search for simplicity and there was still a simpler figure than the circumference: the line.

In 1627, Kepler published the Tabulae Rudolphine, to which he devoted enormous effort, and which for more than a century were used throughout the world to calculate the positions of planets and stars.

Using the laws of planetary motion he was able to predict satisfactorily the transit of Venus in 1631, thus allowing his theory it was confirmed.

Venus Transit 2012 Sun Crossing. Credit: youtube “youtube.com/watch/f6Q00EtDVSU”

Kepler died in 1630 in Bavaria, at the age of 59.

In 1632, during the Thirty Years’ War, the Swedish army destroyed his grave and his works were lost.

However, in 1773 they were recovered by Catherine II of Russia. They are currently at the Pulkovo Observatory in St. Petersburg.


Kepler's Genius: Letting Nature Have The Last Word

Of all the patriarchs of science, Johannes Kepler is the least known. We often talk of Isaac Newton and his law of universal gravity (and laws of motion, and the calculus, and laws of optics), of Galileo's impetuosity and his telescopic discoveries (and law of free fall and pendular motion), and of Copernicus, the man who put the sun in the center of the cosmos. But Kepler? Sounds familiar but what was it again?

Circa 1612, German astronomer Johannes Kepler (1571 - 1630) Hulton Archive/Getty Images ocultar leyenda

Circa 1612, German astronomer Johannes Kepler (1571 - 1630)

Hulton Archive/Getty Images

We need to do better. Kepler is, hands down, one of the most fascinating characters in the history of science. Of course, most of the readers of 13.7 know this already they know Kepler discovered the three laws of planetary motion, the first mathematical laws of astronomy: that planets orbit the sun in elliptical orbits that the imaginary line connecting sun to planet sweeps equal areas in equal times and that the square of the planet's orbital period equals the cube of its average distance to the sun. (These laws apply to any planet orbiting a star.)

I know, sounds kind of boring. But, as with much in life, relevance depends on context. Kepler was the link between the old and the new, a visionary who lived to show that the order we see in the cosmos was the handiwork of a divine mind, well-versed in geometry. To Kepler, faithful to what the Pythagoreans preached two millennia before him, only math could unveil the mystery of creation. The relationship between man and cosmos obeyed the same resonances as the planetary orbits, an expression of the harmony of the spheres.

If his spirituality may seem innocent to us today, we must recall that his dreams of cosmic harmony inspired his work throughout his life. They were the fire that breathed life into his breakthrough scientific discoveries. Kepler found the ellipse not because he looked for it but because it was the only curve that fit the data collected over decades of meticulous observation by the Dane Tycho Brahe. In this, Kepler showed his modernity: if a theory is in conflict with data, change the theory. This was not as obvious in 1609 as it may (or should) be now. The circle, after millennia of prominence in the skies, gave way to the imperfect ellipse.

Nature, not mind, had the last word.

Even if his search for a cosmic harmony, his mysterium cosmographicum, was more a holy grail than science, it represented one of the noblest aspirations of the human spirit, to transcend its mortal chains in search of eternal knowledge.

Today, we can identify similar trends in the search for unification in physics, also inspired by dreams of a universal harmony, albeit one based on the vibrations of fundamental strings as opposed to planetary orbits. From Kepler, we learn that we must dream. But we also learn that such dreams are only useful if, when we wake up, they help us make better sense of the observed world.

You can keep up with more of what Marcelo is thinking on Facebook and Twitter: @mgleiser